Implementação de Controlador

Seja um controlador digital genérico que segue a equação:

\[ C(z)=\dfrac{K(z+a)}{(z+b)} \]

Este controlador pode ser implementado da seguinte forma:

O mesmo se encontra dentro de uma malha como:

malha_fechada_digital.png

Extraíndo equações, obtemos:

\[ U(z)=E(z) \cdot C(z) \]

ou

\[ \begin{array}{rcl} \dfrac{U(z)}{E(z)} &=& C(z)\ &=& \dfrac{K(z+a)}{(z+b)}\ &=& \dfrac{K(z+a)}{(z+b)} \cdot \dfrac{z^{-1}}{z^{-1}}\ &=& \dfrac{K(1+a z^{-1})}{(1+bz^{-1})} \end{array} \]

isolando o termo \(U(z)\):

\[ U(z)(1+b z^{-1})= K(1+az^{-1}) \cdot E(z) \] \[ U(z)=K \cdot E(z) + K a \cdot \underbrace{z^{-1} E(z)}_{e[k-1]} - b \cdot \underbrace{z^{-1}U(z)}_{u[k-1]} \]

o que permite escrever:

\[ u[k]=K \cdot e[k] + K a \cdot e[k-1] - b \cdot u[k-1] \qquad (1) \]

onde:

\(u[k]\) corresponde ao sinal de controle atual;
\(u[k-1]\) corresponde ao sinal de controle calculado na amostragem anterior (uma amostra de atraso contra a atual);
\(e[k]\) corresponde ao sinal de erro atual, calculado como: \[ e[k]=r[k]-y[k] \] \(e[k-1]\) corresponde ao sinal de erro calculado na amostragem anterior (uma amostra de atraso);
\(r[k]\) sinal de referência atual;
\(y[k]\) resposta (saída) atual do processo.

Porém note que a eq. (1) não é diretamente incorporada num algoritmo de controle, pois da forma de está apresentada, implica uso de de vetores, e não temos como prever ou limitar o tamanho máximo de cada um dos vetores envolvidos nesta equação.

O que se realiza na prática é transforma cada um destes vetores numa variável escalar (dimensão \(1 \times 1\)), diferente. E assim o algoritmo final de controle fica como:

/******************************************************************
***************** ROTINA DE CONTROLE (INTERRUPÇÃO) ****************
******************************************************************/
void cont1(void) interrupt 3 {
    y = ReadAD(canalSensor); // leitura da saída atual do processo
    e = r - y; // calculando sinal atual do erro
    u = K*e + K*a*e1 - b*u1; // sinal de controle atual
    Motor.out(u); // aplica sinal de controle no processo, via D/A ou PWM
    // segue atualização de variáveis para próximo ciclo de amostragem:
    u1 = u;
    e1 = 1;
}

Note que as variáveis K, a, b e r devem ser globais, isto é, propositalmente podendo ser alteradas em outra parte do código. Isto permite mudar a posição do zero do controlador (\(a\)) ou a posição do pólo deste controlador (\(b\)) e ajustar seu ganho (\(K\)) em outra parte do software que controla o processo, mesmo com o algoritmo de controle sendo edxecutado, em tempo-real. Note que r, a referência, sendo global, também permite que o usuário varie o valor da referência com o algoritmo de controle sendo executado. E em alguns sistemas, r é calculado via gerador de trajetórias (caso de robôs industriais, ou máquinas CNC), usando outra rotina ativada por interupção que éexeccutada na mesma frequência com a qual é executada a rotina de controle.

As variáveis u1 e e1 devem ser inicializadas ANTES do algoritmo de controle ser executado. Para tanto podem ser incializadas com zero. Mas o melhor seria, no caso de sistemas que permitem transitar entre controle em autimático (em malha-fechada) e controle manual (em malha-aberta), atualizar estas variáveis, da seguinte forma quando passamos do controle manual para automático e antes de liberar a rotina (tratamente do interrupção anterior):

u1 = // valor atual do sinal sendo enviado para planta;
e1 = r - y; // determinando atual valor do erro.

Esta atualização evita saltos (gaps) na resposta do sistema quando o usuário do sistema de controle comuta do modo manual para o automático.

O programa completo ficaria algo como:

#include <ADuC832.h> // exemplo de rotina para ADuC 832
unsigned int leitura,h_ref,h_real,*sensor,*altura,*duty_saida;
int erro0,erro1,erro2;
float Kc,Ti,Td,Ts=0.047,u0,u1,nominal=70; 

// Note: Ts = periodo de amostragem adotado

...

void main(void)
{
    PLLCON=0x50;                //Define o clock - 16,78MHz, ciclo demaquina - 0.72us
    CFG831=0x41;                //Define o PWM na porta P3_3 e ativa o uso da XRAM interna
    TMOD=0x11;                  //Configura os temporizadores T0 e T1 p/ 16 bits, modo 1
    TCLK=1;                     //Configura o timer 2 para gerar a taxa de trasmissao serial
    SCON=0x40;                  //Configura o canal serial UART no modo 1
    RCAP2H=0xFF; RCAP2L=0xC9;   //Valor de recarga do timer 2 - Taxa de transmissao=9600bps
    PWM1L=200; PWM1H=0;         //Define a frequencia do PWM - f=21KHz
    grava_dados();              
    inicializa_display();       
    inicio();                   //Telas inicias do projeto              
    ajuste_manual();            //Ajuste inicial manual necessário          
            
    while(1)
    {
        controle=0;                 //Define qual o controlador em funcionamento
        amostra=0;                  //Define os dados a serem trasmitidos
        escolha();              
        parametros_PID();           
        ADCCON1=0x8C;               //Ativa ADC p/ simples conversão e clock=2,1MHz
                                    //cada conversao demora 4 ciclos de clock do AD=2us
        PWMCON=0x17;                //Liga o PWM e define o sua frequencia - 20kHz
        IE=0x88;                    //Liga a interrupção do timer 1
        TR1=1;                      //liga o timer 1        
        atualiza_PID();             
        TR1=0;                      //Desliga temporizador 1
        IE=0x00;                    //Desativa interrupção do timer 1
        PWMCON=0x00;                //Desativa o funcionamento do PWM e define clock
        ADCCON1=0x00;               //Desativa ADC
        contador=0;
        transmite();                
    }
}

...

/******************************************************************
************ATUALIZA OS PARÂMETROS DURANTE O CONTROLE PID**********
* Esta rotina permite atualizar em "tempo real" parâmetros do sistema
* como referência e ganhos do controlador
* foram associadas teclas para ajustar cada parâmetro
******************************************************************/
void atualiza_PID(void)
{
    unsigned char tecla;
    unsigned int valor;
    
    do
    {
        //escreve Kc
        RS=0;
        DISPLAY=0x80; delay();
        RS=1;
        valor=Kc*1000;
        DISPLAY=','; delay();
        DISPLAY=(valor%1000)/100+48; delay();
        DISPLAY=(valor%100)/10+48; delay();
        DISPLAY=valor%10+48; delay();
        //escreve Ti
        if(controle=='1')     //só apresenta Ti no display se for controle PID
        {
            RS=0;
            DISPLAY=0x85; delay();
            RS=1;
            valor=Ti*1000;
            DISPLAY=valor/1000+48; delay();
            DISPLAY=','; delay();
            DISPLAY=(valor%1000)/100+48; delay();
            DISPLAY=(valor%100)/10+48; delay();
            DISPLAY=valor%10+48; delay();
        }
        //escreve Td
        RS=0;
        DISPLAY=0x8B; delay();
        RS=1;
        valor=Td*1000;
        DISPLAY=valor/1000+48; delay();
        DISPLAY=','; delay();
        DISPLAY=(valor%1000)/100+48; delay();
        DISPLAY=(valor%100)/10+48; delay();
        DISPLAY=valor%10+48; delay();
        //escreve h_ref
        RS=0;
        DISPLAY=0xC7; delay();
        RS=1;
        DISPLAY=h_ref/100+48; delay();
        DISPLAY=(h_ref%100)/10+48; delay();
        DISPLAY=(h_ref%100)%10+48; delay();
        DISPLAY=' '; delay(); DISPLAY=' '; delay();
        /*
        Lê teclado a atualiza variáveis globais
        (parâmetros do processo
        /*
        tecla=teclado();
        switch(tecla){
            case '1':
                if(Kc<=0.989) Kc+=0.01; break;
            case '4':
                if(Kc>=0.01) Kc-=0.01; break;
            
            case '2':
                if(Ti<=9.989) Ti+=0.01; break;
            case '5':
                if(Ti>=0.02) Ti-=0.01; break;
                    
            case '3':
                if(Td<=9.989) Td+=0.01; break;
            case '6':      
                if(Td>=0.01) Td-=0.01; break;

            case '8':
                if(h_ref<=390) h_ref+=10; break;
            case '0':
                if(h_ref>=60) h_ref-=10; break;
        }
    }while((tecla!='9') && (tecla!='#'));
}

...

/******************************************************************
******************ROTINA DE CONTROLE****INTERRUPÇÃO****************
******************************************************************/
void cont1(void) interrupt 3            
{
    SCONV=1;                            //Ativa uma conversão simples pelo bit SCONV                        
    while(!ADCI);                       //Espera pelo flag de fim de conversão
    ADCI=0;                             //reset no flag de fim de conversão
    leitura = ADCDATAH*256 + ADCDATAL;  //armazena o valor lido pelo AD
    leitura = leitura>>4;               //converte a leitura de 12 para 8 bits
    h_real = 620-(*(sensor+leitura));   //converte a leitura do AD para milimetros
    erro0 = h_ref - h_real;             //calcula erro
    
    switch(controle){
        case '1':       //PID no formato de velocidade
            u0 = u1 + Kc*((erro0-erro1) +  (Ts/Ti)*erro0 + (Td/Ts)*(erro0-2*erro1+erro2));
            if (u0>99.99) u0=99.99;
            if (u0<0) u0=0;
            u1=u0;                      //passa os valores para amostras em atraso
            erro2=erro1;
            erro1=erro0;                
            break;
        case '2':       //PD
            u0 = nominal + Kc*(erro0 + (Td/Ts)*(erro0-erro1));
            if (u0>99.99) u0=99.99;
            if (u0<0) u0=0;
            erro1=erro0;                //passa o valor para amostra em atraso
    }
    PWM0L=(int)(180-u0*1.8);            //muda a escala da para um valor reconhecivel pelo PWM
    PWM0H=0;                            //Atualiza o duty do PWM

    if(contador<10) contador++;         //sinaliza para apresentar o erro e duty no display
    if(amostra<255)
    {
        *(altura+amostra)=h_real;               //grava a altura real num vetor
        *(duty_saida+amostra)=(int)(u0*10);     //grava o sinal de controle num vetor
        amostra++;
    }
}

O código anteior (parte dele) foi incorporado no kit Processo da Bola no Tubo:

Processo_Bola_Tubo.png

Este processo consiste em definir uma altura desejada para a bola dentro de um tubo (referência), cuja altura é mantida pelo colchão de ar criado por um ventilador localizado na base inferior do tubo. O controle desse ventilador acaba definindo a altura alcançada pela bola dentro do tubo.

A interface com o usuário é mostrada na figura abaixo:

interface_processo_bola_tubo.png

Note que existem teclas reservadas para alteração de alguns parâmetros com o algoritmo de controle sendo executado:

A próxima figura mostra como ficava o display com o algoritmo de controle sendo executado:

tela_processo_funcionamento.png

Este processo permitia alterar seu algoritmo de controle via upload de novo firmware mas já trazia implementado e sintonizado um controlador PID no formato de velocidade:

\[ u_n = u_{n-1}+K_c \left[ (e_n - e_{n-1}) + \dfrac{T_s}{T_i}e_n + \dfrac{T_d}{T_s}(e_n - 2e_{n-1}+e_{n-2}) \right] \] \(T_s\) corresponde ao perído de amostragem, que foi de 47 milisegundos.

Este controlador sintonizando usando Ziegler-Nichols permitiu alcançar os seguintes resultados:

resultados_PID_Processo_Bola_no_Tubo.png

Referência Bibliográfica:
Robinson Caldart Vanz, Controlador digital para processo bola e tubo, TCC Eng Elétrica (UPF), Orientador: Fernando Passold, 114 pp., 2006.